设f(x)在[a，b]上满足｜f’’(x)｜≤2，且f(x)在(a，b)内取到最小值．证明：｜f’(a)｜+｜f’(b)｜≤2(b-a)．

admin2020-03-16 42

问题设f(x)在[a，b]上满足｜f’’(x)｜≤2，且f(x)在(a，b)内取到最小值．证明：｜f’(a)｜+｜f’(b)｜≤2(b-a)．

选项

答案因为f(x)在(a，b)内取到最小值，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)为f(x)在 [a，b]上的最小值，从而’(c)=0．由微分中值定理得[*]，其中ξ∈(a，c)，η∈(c，b)，两式取绝对值得[*] 两式相加得｜f’(a)｜+｜f’(b)｜≤2(b-a)．

解析

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