设A是n阶矩阵，满足A2=A，且r(A)=r(0﹤r≤n)．证明：其中Er是r阶单位矩阵．

admin2018-09-25 56

问题设A是n阶矩阵，满足A²=A，且r(A)=r(0﹤r≤n)．证明：

其中E_r是r阶单位矩阵．

选项

答案方法一由A²=A，知A的特征值的取值为1，0，由A－A²=A(E－A)=O知 r(A)+r(E－A)≤n， r(A)+r(E－A)≥r(A+E－A)=r(E)=n，故r(A)+r(E－A)=n，又r(A)=r，从而r(E－A)=n－r．对λ=1，(E－A)X=0，因r(E－A)=n－r，故有r个线性无关特征向量，设为ξ₁，ξ₂，…，ξ_r；对λ=0，(0E－A)X=

解析

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