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  3. 设A是n阶矩阵，满足A2=A，且r(A)=r(0﹤r≤n)．证明： 其中Er是r阶单位矩阵．

设A是n阶矩阵，满足A2=A，且r(A)=r(0﹤r≤n)．证明： 其中Er是r阶单位矩阵．

admin2018-09-25  37
问题 设A是n阶矩阵，满足A2=A，且r(A)=r(0﹤r≤n)．证明：

其中Er是r阶单位矩阵．
选项
答案方法一 由A2=A，知A的特征值的取值为1，0，由A－A2=A(E－A)=O知 r(A)+r(E－A)≤n， r(A)+r(E－A)≥r(A+E－A)=r(E)=n， 故r(A)+r(E－A)=n，又r(A)=r，从而r(E－A)=n－r． 对λ=1，(E－A)X=0，因r(E－A)=n－r，故有r个线性无关特征向量，设为ξ1，ξ2，…，ξr； 对λ=0，(0E－A)X=
解析
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考研数学一

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