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设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(0)=0,,证明:存在,使得f’(ξ)+f’(η)==ξ2+η2.
设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(0)=0,,证明:存在,使得f’(ξ)+f’(η)==ξ2+η2.
admin
2014-01-26
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问题
设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(0)=0,
,证明:存在
,使得f’(ξ)+f’(η)==ξ
2
+η
2
.
选项
答案
令[*],由题知F(0)=F(1)=0, F(x)在[*]上用拉格朗日中值定理, [*] ① F(x)在[*]上利用拉格朗日中值定理, [*] ② 两式相加得 f’(ξ)|f’(η)=ξ
2
+η
2
.
解析
[分析] 这是一个双介值的证明题,构造辅助函数,用两次拉格朗日中值定理.
[评注] 一般来说,对双介值问题,若两个介值有关联同时用两次中值定理,若两个介值无关联时用一次中值定理后,再用一次中值定理.
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考研数学二
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