求下列二重积分: (I)其中D为正方形域:0≤x≤1,0≤y≤1; (Ⅱ),其中D:x2+y2≤1; (Ⅲ)其中D由直线x=一2,y=0,y=2及曲线所围成.

admin2017-07-28  38

问题 求下列二重积分:
(I)其中D为正方形域:0≤x≤1,0≤y≤1;
(Ⅱ),其中D:x2+y2≤1;
(Ⅲ)其中D由直线x=一2,y=0,y=2及曲线所围成.

选项

答案(I)尽管D的边界不是圆弧,但由被积函数的特点知选用极坐标比较方便.D的边界线x=1及y=1的极坐标方程分别为 [*] (Ⅱ)在积分区域D上被积函数分块表示,若用分块积分法较复杂.因D是圆域,可用极坐标变换,转化为考虑定积分的被积函数是分段表示的情形.这时可利用周期函数的积分性质. 作极坐标变换x=rcosθ,y=rsinθ,则D:0≤θ≤2π,0≤r≤1.从而 [*] 其中[*]由周期函数的积分性质,令t=θ+θ0就有 [*] (Ⅲ)D的图形如图9.53所示.若把D看成正方形区域挖去半圆D1,则计算D1上的积分自然选用极坐标变换.若只考虑区域D,则自然考虑先x后y的积分顺序化为累次积分.若注意D关于直线y=1对称,选择平移变换则最为方便. 作平移变换u=x,v=y一1,注意曲线[*]即x2+(y—1)2=1,x≤0,则D变成D’.D’由u=-2,v=一1,v=1,u2+v2=1(u≤0)围成,则 [*]

解析
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