设f(x)在[a，b]可积，求证：φ(x)=∫x0xf(u)du在[a，b]上连续，其中x0∈[a，b]

admin2020-03-16 61

问题设f(x)在[a，b]可积，求证：φ(x)=∫_x₀^xf(u)du在[a，b]上连续，其中x₀∈[a，b]

选项

答案[*]，x+△x∈[a，b]，考察 φ(x+△x)-φ(x)=∫_x₀^x+△xf(u)du-∫_x₀^xf(u)du=∫_x^x+△xf(u)du，由f(x)在[a，b]可积[*]f(x)在[a，b]有界．即｜f(x)｜≤M(x∈[a，b])，则｜φ(x+△x)-(x)｜≤｜∫_x^x+△x｜f(u)｜du｜≤M｜△x｜．因此，[*]，x+△x∈[a，b]，有[*][φ(x+△x)-φ(x)]=0，即φ(x)在[a，b]上连续．

解析

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