设函数f(x)在区间[a，b]上连续，且恒大于零，证明： ∫abf(x)dx∫ab≥(b一a)2．

admin2018-11-21 23

问题设函数f(x)在区间[a，b]上连续，且恒大于零，证明：
∫_a^bf(x)dx∫_a^b

≥(b一a)²．

选项

答案利用积分变量的改变，可得 ∫_a^bf(x)dx∫_a^b[*]dxdy，其中D={(x，y)｜a≤x≤b，a≤y≤b}．并且利用对称性(D关于y=x对称)，可得 [*]

解析有时把一元函数的积分问题转化为二元函数的积分问题便可使问题得到解决．
这里记D={(x，y)｜a≤x≤b，a≤y≤b}，则定积分之积就可表示为二重积分：
∫_a^bf(x)dx∫_a^b

dxdy．
然后利用二重积分的性质便可得证．

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考研数学一

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