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设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且证明: 存在η∈(0,1),使得f"(η)一3f’(η)+2f(η)=0.
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且证明: 存在η∈(0,1),使得f"(η)一3f’(η)+2f(η)=0.
admin
2020-11-16
1
问题
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且
证明:
存在η∈(0,1),使得f"(η)一3f’(η)+2f(η)=0.
选项
答案
令h(x)=e
-x
f(x),因为f(0)=f(c)=f(1)=0,所以h(0)=h(c)=h(1)=0. 由罗尔定理,存在η
1
∈(0,c),η
2
∈(c,1),使得h’(η
1
)=h’(η
2
)=0,而 h’(x)=e
-x
[f’(x)一f(x)]且e
-x
≠0, 所以f’(η
1
)一f(η
1
)=0,f’(η
2
)一f(η
2
)=0. 令φ(x)=e
-2x
[f’(x)一f(x)],因为φ(η
1
)=φ(η
2
)=0,所以存在η∈(η
1
,η
2
)[*](0,1),使得φ’(η)=0,而φ’(x)=e
-2x
[f"(x)一3f’(x)+2f(x)]且e
-2x
≠0,于是 f"(η)一3f’(η)+2f(η)=0.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Bev4777K
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考研数学一
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