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  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且证明： 存在η∈(0，1)，使得f"(η)一3f’(η)+2f(η)=0．

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且证明： 存在η∈(0，1)，使得f"(η)一3f’(η)+2f(η)=0．

admin2020-11-16  1
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且证明：
存在η∈(0，1)，使得f"(η)一3f’(η)+2f(η)=0．
选项
答案令h(x)=e-xf(x)，因为f(0)=f(c)=f(1)=0，所以h(0)=h(c)=h(1)=0． 由罗尔定理，存在η1∈(0，c)，η2∈(c，1)，使得h’(η1)=h’(η2)=0，而 h’(x)=e-x[f’(x)一f(x)]且e-x≠0， 所以f’(η1)一f(η1)=0，f’(η2)一f(η2)=0． 令φ(x)=e-2x[f’(x)一f(x)]，因为φ(η1)=φ(η2)=0，所以存在η∈(η1，η2)[*](0，1)，使得φ’(η)=0，而φ’(x)=e-2x[f"(x)一3f’(x)+2f(x)]且e-2x≠0，于是 f"(η)一3f’(η)+2f(η)=0．
解析
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考研数学一

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