设f(x)在区间[一a,a](a>0)上具有二阶连续导数,且f(0)=0. (1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式; (2)证明:存在η∈[-a,a],使a3f"(η)=3∫-aaf(x)dx.

admin2020-03-10  55

问题 设f(x)在区间[一a,a](a>0)上具有二阶连续导数,且f(0)=0.
(1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式;
(2)证明:存在η∈[-a,a],使a3f"(η)=3∫-aaf(x)dx.

选项

答案(1)对任意x∈[一a,a],有 [*] (2)[*] 因为f"(x)在[一a,a]上连续,由最值定理:m≤f"(x)≤M,x∈[一a,a],其中m,M分别为f"(x)的最小值和最大值.于是有 mx2≤f"(ξ)x2≤Mx2, [*] 由介值定理,存在η∈[一a,a],使得[*]即a3f"(η)=3∫-aaf(x)dx.

解析
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