2. 考研
  3. 设f(x)在区间[一a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，且f(0)=0． (1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； (2)证明：存在η∈[-a，a]，使a3f"(η)=3∫-aaf(x)dx．

设f(x)在区间[一a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，且f(0)=0． (1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； (2)证明：存在η∈[-a，a]，使a3f"(η)=3∫-aaf(x)dx．

admin2020-03-10  65
问题 设f(x)在区间[一a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，且f(0)=0．
(1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；
(2)证明：存在η∈[-a，a]，使a3f"(η)=3∫-aaf(x)dx．
选项
答案(1)对任意x∈[一a，a]，有 [*] (2)[*] 因为f"(x)在[一a，a]上连续，由最值定理：m≤f"(x)≤M，x∈[一a，a]，其中m，M分别为f"(x)的最小值和最大值．于是有 mx2≤f"(ξ)x2≤Mx2， [*] 由介值定理，存在η∈[一a，a]，使得[*]即a3f"(η)=3∫-aaf(x)dx．
解析
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考研数学三

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