2. 考研
  3. 已知A是3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足 Aα1=一α1一3α2—3α3，Aα2=4α1+4α2+α3，Aα3=一2α1+3α3． ①求A的特征值． ②求A的特征向量． ③求A*一6E的秩．

已知A是3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足 Aα1=一α1一3α2—3α3，Aα2=4α1+4α2+α3，Aα3=一2α1+3α3． ①求A的特征值． ②求A的特征向量． ③求A*一6E的秩．

admin2018-05-23  56
问题 已知A是3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足
    Aα1=一α1一3α2—3α3，Aα2=4α1+4α2+α3，Aα3=一2α1+3α3．
①求A的特征值．
②求A的特征向量．
③求A*一6E的秩．
选项
答案①记P=(α1，α2，α3)，因为α1，α2，α3是线性无关，所以P是可逆矩阵． AP=(Aα1，Aα2，Aα3)=(一α1一3α2—3α3，4α1+4α2+α3，一2α1+3α3)=(α1，α2，α3)[*] 记B=[*]则AP=PB，即P-1AP=B，A与B相似，特征值一样． 求B的特征多项式 |λE—B|=[*]=(λ一1)(λ一2)(λ一3)． 得A的特征值为1，2，3． ②先求B的特征向量，用P左乘之得到A的特征向量．(如果Bη=λη，则P-1APη=λη，即A(Pη)=λ(Pη)．) 对于特征值1： [*] B的属于特征值1的特征向量(即(B—E)x=0的非零解)为c(1，1，1)T，c≠0．则A的属于特征值1的特征向量为c(α1+α2+α3)T，c≠0． 对于特征值2： [*] B的属于特征值2的特征向量(即(B一2E)x=0的非零解)为c(2，3，3)T，c≠0．则A的属于特征值2的特征向量为c(2α1+3α2+3α3)T，c≠0． 对于特征值3： [*] B的属于特征值3的特征向量(即(B一3E)x=0的非零解)为c(1，3，4)T，c≠0．则A的属于特征值3的特征向量为c(α1+3α2+4α3)T，c≠0． ③由A的特征值为1，2，3，|A|=6．于是A*的特征值为6，3，2，A*一6E的特征值为0，一3，一4． [*]
解析
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考研数学三

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