已知A是3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量组,满足 Aα1=一α1一3α2—3α3,Aα2=4α1+4α2+α3,Aα3=一2α1+3α3. ①求A的特征值. ②求A的特征向量. ③求A*一6E的秩.

admin2018-05-23  31

问题 已知A是3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量组,满足
    Aα1=一α1一3α2—3α3,Aα2=4α1+4α23,Aα3=一2α1+3α3
①求A的特征值.
②求A的特征向量.
③求A*一6E的秩.

选项

答案①记P=(α1,α2,α3),因为α1,α2,α3是线性无关,所以P是可逆矩阵. AP=(Aα1,Aα2,Aα3)=(一α1一3α2—3α3,4α1+4α23,一2α1+3α3)=(α1,α2,α3)[*] 记B=[*]则AP=PB,即P-1AP=B,A与B相似,特征值一样. 求B的特征多项式 |λE—B|=[*]=(λ一1)(λ一2)(λ一3). 得A的特征值为1,2,3. ②先求B的特征向量,用P左乘之得到A的特征向量.(如果Bη=λη,则P-1APη=λη,即A(Pη)=λ(Pη).) 对于特征值1: [*] B的属于特征值1的特征向量(即(B—E)x=0的非零解)为c(1,1,1)T,c≠0.则A的属于特征值1的特征向量为c(α123)T,c≠0. 对于特征值2: [*] B的属于特征值2的特征向量(即(B一2E)x=0的非零解)为c(2,3,3)T,c≠0.则A的属于特征值2的特征向量为c(2α1+3α2+3α3)T,c≠0. 对于特征值3: [*] B的属于特征值3的特征向量(即(B一3E)x=0的非零解)为c(1,3,4)T,c≠0.则A的属于特征值3的特征向量为c(α1+3α2+4α3)T,c≠0. ③由A的特征值为1,2,3,|A|=6.于是A*的特征值为6,3,2,A*一6E的特征值为0,一3,一4. [*]

解析
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