设矩阵A= (1)若A有一个特征值为3，求a； (2)求可逆矩阵P，使得PTA2P为对角矩阵．

admin2018-05-22 63

问题设矩阵A=

(1)若A有一个特征值为3，求a；
(2)求可逆矩阵P，使得P^TA²P为对角矩阵．

选项

答案(1)｜λE-A｜=(λ-1)[λ-(a+2)λ+2a-1]，把λ=3代入上式得a=2，于是A=[*]，A²=[*] (2)由｜λE-A²｜=0得A²的特征值为λ₁=λ₂=λ₃=1，λ₄=9．当λ=1时，由(E-A²)x=0得α₁=(1，0，0，0)^T，α₂=(0，1，0，0)^T，α₃=(0，0，-1，1)^T；当λ=9时，由(9E-A²)X=0得α₄=(0，0，1，1)^T．将α₁，α₂，α₃正交规范化得β₁=(1，0，0，0)^T，β₂=(0，1，0，0)^T，β₃=[*]，将α₄规范化得β₄=[*] 令P=(β₁，β₂，β₃，β₄)=[*]，则P^TA²P=[*]

解析

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考研数学二

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