2. 考研
  3. f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0，证明：存在ξ∈[0，1]，使得 f’(ξ)=2∫01f(x)dx．

f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0，证明：存在ξ∈[0，1]，使得 f’(ξ)=2∫01f(x)dx．

admin2020-03-16  68
问题 f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0，证明：存在ξ∈[0，1]，使得
    f’(ξ)=2∫01f(x)dx．
选项
答案因为f’(x)在[0，1]上连续，所以，f’(x)在[0，1]上有最小值和最大值，设为m，M，即有x1，x2∈[0，1]，使f’(x1)=m，f’(x2)=M 由中值定理，对任意x∈[0，1]，存在η∈(0，x)，使f(x)=f(x)一f(0)=f’(η)x，于是有 f’(x)x=mx≤f(x)=f(x)一f(0)=f’(η)x≤Mx=f’(x2)x， 积分得 f’(x1)∫01xdx≤∫01f(x)dx≤f’(x2)∫01xdx， 即[*]f’(x2)，即f’(x1)≤2∫01f(x)dx≤f(x2)。 因为f’(x)在[0，1]上连续，由介值定理，必有ξ∈[x1，x2][*][0，1]， 使f’(ξ)=2∫01f(x)dx．
解析
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考研数学二

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