设(I)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组,(I)的系数矩阵为 (Ⅱ)的一个基础解系为η1=(2,一1,a+2,1)T,η2=(一1,2,4,a+8)T. a为什么值时(I)和(Ⅱ)有公共非零解?此时求出全部公共非零解.

admin2017-10-21  51

问题 设(I)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组,(I)的系数矩阵为

(Ⅱ)的一个基础解系为η1=(2,一1,a+2,1)T,η2=(一1,2,4,a+8)T
a为什么值时(I)和(Ⅱ)有公共非零解?此时求出全部公共非零解.

选项

答案(Ⅱ)的通解为c1η1+c2η2=(2c1—c2,一c1+2c2,(a+2)c1+4c2,c1+(a+8)c2)T. 将它代入(I),求出为使c1η1+c2η2也是(I)的解(从而是(I)和(Ⅱ)的公共解),c1,c2应满足的条件为: [*] 于是当a+1≠0时,必须c1=c2=0,即此时公共解只有零解. 当a+1=0时,对任何c1,c2,c1η1+c2η2都是公共解.从而(I),(Ⅱ)有公共非零解.此时它们的公共非零解也就是(Ⅱ)的非零解:c1η1+c2η2,c1,c2不全为0.

解析
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