设(I)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组，(I)的系数矩阵为 (Ⅱ)的一个基础解系为η1=(2，一1，a+2，1)T，η2=(一1，2，4，a+8)T． a为什么值时(I)和(Ⅱ)有公共非零解?此时求出全部公共非零解．

admin2017-10-21 61

问题设(I)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组，(I)的系数矩阵为

(Ⅱ)的一个基础解系为η₁=(2，一1，a+2，1)^T，η₂=(一1，2，4，a+8)^T．
a为什么值时(I)和(Ⅱ)有公共非零解?此时求出全部公共非零解．

选项

答案(Ⅱ)的通解为c₁η₁+c₂η₂=(2c₁—c₂，一c₁+2c₂，(a+2)c₁+4c₂，c₁+(a+8)c₂)^T．将它代入(I)，求出为使c₁η₁+c₂η₂也是(I)的解(从而是(I)和(Ⅱ)的公共解)，c₁，c₂应满足的条件为： [*] 于是当a+1≠0时，必须c₁=c₂=0，即此时公共解只有零解．当a+1=0时，对任何c₁，c₂，c₁η₁+c₂η₂都是公共解．从而(I)，(Ⅱ)有公共非零解．此时它们的公共非零解也就是(Ⅱ)的非零解：c₁η₁+c₂η₂，c₁，c₂不全为0．

解析

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考研数学三

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设(I)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组，(I)的系数矩阵为 (Ⅱ)的一个基础解系为η1=(2，一1，a+2，1)T，η2=(一1，2，4，a+8)T． a为什么值时(I)和(Ⅱ)有公共非零解?此时求出全部公共非零解．

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