设A为n阶非零矩阵,且存在自然数k,使得Ak=0.证明:A不可以对角化.

admin2016-09-30  35

问题 设A为n阶非零矩阵,且存在自然数k,使得Ak=0.证明:A不可以对角化.

选项

答案令AX=λX(X≠0),则有AkX=λkX,因为Ak=O,所以λkX=0,注意到X≠0,故λk=0,从而λ=0,即矩阵A只有特征值0(n重). 因为r(OE—A)=r(A)≥1,所以方程组(OE—A)X=0的基础解系至多含n一1个线性无关的解向量,故矩阵A不可对角化.

解析
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