设A为n阶非零矩阵，且存在自然数k，使得Ak=0．证明：A不可以对角化．

admin2016-09-30 89

问题设A为n阶非零矩阵，且存在自然数k，使得A^k=0．证明：A不可以对角化．

选项

答案令AX=λX(X≠0)，则有A^kX=λ^kX，因为A^k=O，所以λ^kX=0，注意到X≠0，故λ^k=0，从而λ=0，即矩阵A只有特征值0(n重)．因为r(OE—A)=r(A)≥1，所以方程组(OE—A)X=0的基础解系至多含n一1个线性无关的解向量，故矩阵A不可对角化．

解析

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考研数学一

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