(Ⅰ)设A，B为n阶可相似对角化矩阵，且有相同特征值，证明：矩阵A，B相似． (Ⅱ)设A=，求可逆矩阵P，使得P-1AP=B．

admin2021-01-14 39

问题 (Ⅰ)设A，B为n阶可相似对角化矩阵，且有相同特征值，证明：矩阵A，B相似．
(Ⅱ)设A=

，求可逆矩阵P，使得P^-1AP=B．

选项

答案(Ⅰ)设A，B的特征值为λ₁，λ₂，…，λ_n，因为A，B可相似对角化，所以存在可逆矩阵P₁，P₂，使得[*] 于是P₁^-1AP₁=P₂^-1BP₂，或(P₁P₂^-1)A(P₁P₂^-1)=B，令P=P₁P₂^-1，则P^-1AP=B，即矩阵A，B相似． (Ⅱ)由｜λE-A｜=[*]=(λ+1)(λ一1)²=0得λ₁=一1，λ₂=λ₃=1；由｜λE-B｜=[*]=(λ+1)(λ一1)²=0得λ₁=一1，λ₂=λ₃=1．由E+A=[*]得 A的属于λ₁=一1的线性无关特征向量为α₁=[*] 由E—A=[*]得 A的属于特征值λ₂=λ₃=1的线性无关的特征向量为[*] 令P₁=[*]，则P₁^-1AP₁=[*] 由E+B=[*]得 B的属于λ₁=一1的线性无关特征向量为β₁=[*] 由E—B=[*]得 B的属于特征值λ₂=λ₃=1的线性无关的特征向量为β₂=[*] 令P₂=[*]，则P₂^-1BP₂=[*] 故P=P₁P₂^-1=[*]，使得P^-1AP=B．

解析

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考研数学二

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(Ⅰ)设A，B为n阶可相似对角化矩阵，且有相同特征值，证明：矩阵A，B相似． (Ⅱ)设A=，求可逆矩阵P，使得P-1AP=B．

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