2. 考研
  3. (Ⅰ)设A，B为n阶可相似对角化矩阵，且有相同特征值，证明：矩阵A，B相似． (Ⅱ)设A=，求可逆矩阵P，使得P-1AP=B．

(Ⅰ)设A，B为n阶可相似对角化矩阵，且有相同特征值，证明：矩阵A，B相似． (Ⅱ)设A=，求可逆矩阵P，使得P-1AP=B．

admin2021-01-14  13
问题 (Ⅰ)设A，B为n阶可相似对角化矩阵，且有相同特征值，证明：矩阵A，B相似．
(Ⅱ)设A=，求可逆矩阵P，使得P-1AP=B．
选项
答案(Ⅰ)设A，B的特征值为λ1，λ2，…，λn， 因为A，B可相似对角化，所以存在可逆矩阵P1，P2，使得[*] 于是P1-1AP1=P2-1BP2，或(P1P2-1)A(P1P2-1)=B， 令P=P1P2-1，则P-1AP=B，即矩阵A，B相似． (Ⅱ)由｜λE-A｜=[*]=(λ+1)(λ一1)2=0得λ1=一1，λ2=λ3=1； 由｜λE-B｜=[*]=(λ+1)(λ一1)2=0得λ1=一1，λ2=λ3=1． 由E+A=[*]得 A的属于λ1=一1的线性无关特征向量为α1=[*] 由E—A=[*]得 A的属于特征值λ2=λ3=1的线性无关的特征向量为[*] 令P1=[*]，则P1-1AP1=[*] 由E+B=[*]得 B的属于λ1=一1的线性无关特征向量为β1=[*] 由E—B=[*]得 B的属于特征值λ2=λ3=1的线性无关的特征向量为β2=[*] 令P2=[*]，则P2-1BP2=[*] 故P=P1P2-1=[*]，使得P-1AP=B．
解析
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考研数学二

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