利用代换将方程y”cos x－2y’sin x﹢3ycos x﹦ex化简，并求出原方程的通解。

admin2019-01-22 59

问题利用代换

将方程y^”cos x－2y^’sin x﹢3ycos x﹦e^x化简，并求出原方程的通解。

选项

答案方法一：由[*]，得 y^’﹦u^’sec x﹢usec xtan x， y^”﹦u^”sec x﹢2u^’sec xtan x﹢usec xtan²x﹢usec³x，代入原方程y^”cos x-2y^’sin x﹢3ycos x﹦e^x，得 U^”﹢4u﹦e^x。 (1) 先求其对应的齐次线性微分方程的通解。由于其特征方程为λ²2﹢4﹦0，则特征方程的根为λ﹦±2i。所以通解为[*](x)﹦C₁cos 2x﹢C₁sin 2x，其中C₁，C₂为任意常数。再求非齐次线性微分方程的特解。设其特解为u^*(x)﹦Ae^x，代入(1)式，得 (Ae^x)^”﹢4(Ae^x)﹦Ae^x﹢4Ae^x﹦e^x，则A﹦[*]，因此u^*(x)﹦[*]e^x。所以(1)式的通解为 u(x)﹦C₁cos 2x﹢C₂sin 2x﹢[*]e^x，其中C₁，C₂为任意常数。因此，原方程的通解为 [*] 方法二：由y﹦[*]得u﹦ycos x，于是 u^’﹦y^’cos x－ysinx， u^”﹦y^”cos x－2y^’sin x－ycos x，于是原方程y^”cos x－2y^’sin x﹢3ycos x﹦e^x化为u^”﹢4u﹦e^x(以下求解过程同方法一)。本题考查二阶非齐次线性微分方程的求解。考生在求解微分方程之前，应该先根据题目给出的代换将微分方程化简。二阶非齐次线性微分方程的通解包含两部分：对应二阶齐次线性微分方程的通解和二阶非齐次线性微分方程的特解。

解析

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考研数学一

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设线性方程组为(1)讨论a1，a2，a3，a4取值对解的情况的影响．(2)设a1=a3=k，a2=a4=一k(k≠0)，并且(一1，1，1)T和(1，1，一1)T都是解，求此方程组的通解．

设随机变量Yi(i=1，2，3)相互独立，并且都服从参数为p的0—1分布．令求随机变量(X1，X2)的联合概率分布．

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求曲线积分I＝xydx＋yzdx＋xzdz，C为椭圆周：x2＋y2＝1，x＋y＋z＝1，逆时针方向．

求下列平面上曲线积分其中L是椭圆周，取逆时针方向．

设L是区域D：x2＋y2≤一2x的正向边界，则I＝(x3一y)dx＋(x一y3)dy＝______．

设A=已知线性方程组Ax=b存在2个不同的解，(Ⅰ)求λ，a；(Ⅱ)求方程组Ax=b的通解．

证明：当时，不等式成立．

设二阶常系数线性微分方程y’’+ay’+by=cex有特解y=e2x+(1+x)ex，确定常数a，b，c，并求该方程的通解．

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