设曲线y=f(x),其中y=f(x)是可导函数,且f(x)>0。已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=1及x=t(t>1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍,求该曲线方程。

admin2019-03-12  75

问题 设曲线y=f(x),其中y=f(x)是可导函数,且f(x)>0。已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=1及x=t(t>1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍,求该曲线方程。

选项

答案旋转体的体积为v=∫1tπf2(x)dx=π∫1tf2(x)dx,曲边梯形的面积为s=∫1tf(x)dx,则由题可知 π∫1tf2(x)dx=πt∫1tf(x)dx,即∫1tf2(x)dx=t∫1tf(x)dx。 两边对t求导可得f2(t)=∫1tf(x)dx+f(t),即f2(t)一tf(t)=∫1tf(x)dx,(*)等式两端求导可得2f(t)f’(t) — f(t)一tf’(t)=f(t),化简可得(2t)—t)f’(t)=2f(t),即[*]=1,解之得t=c.[*]。 在(*)式中令t=1,则f2(1) — f(1)=0,因为已知f(x)>0,所以f(1)=1,代入 [*] 所以该曲线方程为2y+[*]—3x=0。

解析
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