设a1，a2，β1，β2为三维列向量组，且a1，a2与β1，β2都线性无关．证明：至少存在一个非零向量可同时由a1，a2和β1，β2线性表示；

admin2020-03-10 27

问题设a₁，a₂，β₁，β₂为三维列向量组，且a₁，a₂与β₁，β₂都线性无关．
证明：至少存在一个非零向量可同时由a₁，a₂和β₁，β₂线性表示；

选项

答案因为a₁，a₂，β₁，β₂线性相关，所以存在不全为零的常数k₁，k₂，l₁，l₂，使得 k₁a₁＋k₂a₂＋l₁β₁＋l₂a₂，或k₁a₁＋k₂a₂＝－l₁β₁－l₂β₂．令γ＝k₁a₁＋k₂a₂＝－l₁β₁－l₂β₂，因为a₁，a₂与β₁，β₂都线性无关，所以k₁，k₂及l₁， l₂都不全为零，所以γ≠0．

解析

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考研数学三

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