2. 考研
  3. 设g(x)在[a，b]上连续，且f(x)在[a，b]上满足f"(x)+g(x)f’(x)－f(x)=0，又f(a)=f(b)=0，证明：f(x)在[a，b]上恒为零．

设g(x)在[a，b]上连续，且f(x)在[a，b]上满足f"(x)+g(x)f’(x)－f(x)=0，又f(a)=f(b)=0，证明：f(x)在[a，b]上恒为零．

admin2022-06-30  64
问题 设g(x)在[a，b]上连续，且f(x)在[a，b]上满足f"(x)+g(x)f’(x)－f(x)=0，又f(a)=f(b)=0，证明：f(x)在[a，b]上恒为零．
选项
答案设f(x)在区间[a，b]上不恒为零，不妨设存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＞0，则f(x)在(a，b)内取到最大值，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=M＞0，且f’(c)=0，代入得f"(c)=f(c)=M＞0，则x=c为极小值点，矛盾，即f(x)≤0，同理可证明f(x)≥0，故f(x)≡0(a≤x≤b)．
解析
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考研数学二

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