首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设A为m阶实对称阵且正定,B为m×n实矩阵,试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n.
设A为m阶实对称阵且正定,B为m×n实矩阵,试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n.
admin
2018-07-27
57
问题
设A为m阶实对称阵且正定,B为m×n实矩阵,试证:B
T
AB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n.
选项
答案
必要性设B
T
AB正定,则对任意n维非零列向量x, 有x
T
(B
T
AB)x>0,即(Bx)
T
A(Bx)>0,于是Bx≠0.因此,Bx=0只有零解,从而有r@B@=n. 充分性因(B
T
AB)
T
=B
T
A
T
B=B
T
AB,故B
T
AB为实对称矩阵,若r@B@=n,则齐次线性方程组Bx=0只有零解,从而对任意n维非零列向量x,有Bx≠0,又A为正定矩阵,所以对于Bx≠0,有(Bx)
T
A(Bx)>0,于是当x≠0时,x
T
(B
T
AB)x=(Bx)
T
A(Bx)>0,故B
T
AB为正定矩阵.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/EXW4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
设A为n阶可逆矩阵,α为n维列向量,b为常数,记分块矩阵P=其中A*是A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.(Ⅰ)计算并化简PQ;(Ⅱ)证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b.
设a>0,且函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,试证:至少存在一点ξ∈(a,b)使得
求下列二阶常系数齐次线性微分方程的通解:(Ⅰ)2y’’+y’-y=0;(Ⅱ)y’’+8y’+16y=0;(Ⅲ)y’’-2y’+3y=0.
求下列微分方程的通解或特解:
设函数y1(x),y2(x),y3(x)线性无关,而且都是非齐次线性方程(6.2)的解,C1,C2为任意常数,则该非齐次方程的通解是
证明n维列向量α1,α2,…,αn线性无关的充要条件是
设A是n×m矩阵,B是m×n矩阵,其中n<m,若AB=E,证明B的列向量线性无关.
已知β可用α1,α2,…,αm线性表示,但不能用α1,α2,…,αm-1表出,试判断:(Ⅰ)αm能否用α1,α2,…,αm-1,β线性表示;(Ⅱ)αm能否用α1,α2,…,αm-1线性表示,并说明理由.
设A,B都是m×n矩阵,则r(A+B)≤r(A)+r(B).
随机试题
脾肾虚寒,火不生土之五更肾泄之证。治宜用
药物临床试验必须符合
参与式社会评价必须反馈的信息不包括( )。
国务院期货监督管理机构应当制定期货公司持续性经营规则,对期货公司及其分支机构的()提出要求。
ABC公司2015年有关的财务数据如下:要求:假设该公司实收资本一直保持不变,计算回答以下互不关联的4个问题:保持目前的全部财务比率,2016年可实现的销售收入是多少?
设f(x)=nx(1-x)n(n为自然数),(Ⅰ)求f(x);(Ⅱ)求证:
在VB6.0中,用于设置ADO结果集的内容,这个内容可以是一张表,也可以来自一个查询语句,还可以来自一个存储过程的执行结果的属性是________。
某商场商品经营管理系统使用SQLServer2008数据库管理系统,此系统上线运行1年后,业务人员使用某统计功能(此功能每月使用一次)时发现速度很慢。该统计功能主要执行的SQL语句如下:SELECT商品号,SUM(销售数量*销售价格)销售额
下列软件中,属于系统软件的是()。
_____we’lldoistoleaveMumanotetotellherthatwewon’tbebacktilltomorrowmorning.
最新回复
(
0
)