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  3. 设n阶矩阵 (1)求A的特征值和特征向量； (2)求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．

设n阶矩阵 (1)求A的特征值和特征向量； (2)求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．

admin2020-03-16  56
问题 设n阶矩阵

(1)求A的特征值和特征向量；
(2)求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．
选项
答案(1)1°当b≠0时， ｜λE-A｜=[*]=[λ-1-(n-1)b][λ-(1-b)]n-1． 故A的特征值为λ1=1+(n-1)n，λ2=…=λn=1-b． 对于λ1=1+(n-1)b，设对应的一个特征向量为ξ1，则 [*] ξ1=[1+(n-1)b]ξ1 解得ξ1=(1，1，…，1)T，所以，属于λ1的全部特征向量为 kξ1=k(1，1，…，1)T，其中k为任意非零常数． 对于λ2=…=λn=1-b，解齐次线性方程组[(1-b)E-A]x=0，由 [*] 解得基础解系为ξ2=(1，-1，0，…，0)T，ξ3=(1，0，-1，…，0)T，…，ξn=(1，0，0，…，-1)T．故属于λ2=…=λn的全部特征向量为 k2ξ2+k3ξ3+…+knξn，其中k1，k2，…，kn为不全为零的任意常数． 2°当b=0时，A=E，A的特征值为λ1=λ2=…=λn=1，任意n维非零列向量均是特征向量． (2)1°当b≠0时，A有n个线性无关的特征向量，令矩阵P=[ξ1，ξ2，…，ξn]，则有 P-1AP=diag(1+(n-1)b，1-b，…，1-b)． 2°当b=0时，A=E，对任意n阶可逆矩阵P，均有P-1AP=E．
解析
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考研数学二

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