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  3. 已知三元二次型xTAx经正交变换化为2y12－y22－y32，又知A*α=α，其中α=(1，1，－1)T，求此二次型的表达式．

已知三元二次型xTAx经正交变换化为2y12－y22－y32，又知A*α=α，其中α=(1，1，－1)T，求此二次型的表达式．

admin2017-06-14  33
问题 已知三元二次型xTAx经正交变换化为2y12－y22－y32，又知A*α=α，其中α=(1，1，－1)T，求此二次型的表达式．
选项
答案由xTAx=2y12－y22－y32知A的特征值是2，－1，－1，那么｜A ｜=2． 从而1，－2，－2是A*的特征值，因此α是A*属于λ=1的特征向量，也就是A属于λ=2的特征向量． 设A属于λ=－1的特征向量是x=(x1，x2，x3)T，则因A是实对称矩阵，x与α正交，故 x1+x2－x3=0． 解出 x1=(1，－1，0)T， x2=(1，0，1)T． x1，x2是A属于λ=－1的特征向量． [*] 故 xTAx=2x1x2—2x1x3—2x2x3．
解析
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考研数学一

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