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已知三元二次型xTAx经正交变换化为2y12-y22-y32,又知A*α=α,其中α=(1,1,-1)T,求此二次型的表达式.
已知三元二次型xTAx经正交变换化为2y12-y22-y32,又知A*α=α,其中α=(1,1,-1)T,求此二次型的表达式.
admin
2017-06-14
66
问题
已知三元二次型x
T
Ax经正交变换化为2y
1
2
-y
2
2
-y
3
2
,又知A
*
α=α,其中α=(1,1,-1)
T
,求此二次型的表达式.
选项
答案
由x
T
Ax=2y
1
2
-y
2
2
-y
3
2
知A的特征值是2,-1,-1,那么|A |=2. 从而1,-2,-2是A
*
的特征值,因此α是A
*
属于λ=1的特征向量,也就是A属于λ=2的特征向量. 设A属于λ=-1的特征向量是x=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,则因A是实对称矩阵,x与α正交,故 x
1
+x
2
-x
3
=0. 解出 x
1
=(1,-1,0)
T
, x
2
=(1,0,1)
T
. x
1
,x
2
是A属于λ=-1的特征向量. [*] 故 x
T
Ax=2x
1
x
2
—2x
1
x
3
—2x
2
x
3
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Fdu4777K
0
考研数学一
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[*]
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