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设f(χ)为n+1阶可导函数,求证:f(χ)为n次多项式的充要条件是f(n+1)(χ)≡0,f(n)(χ)≠0.
设f(χ)为n+1阶可导函数,求证:f(χ)为n次多项式的充要条件是f(n+1)(χ)≡0,f(n)(χ)≠0.
admin
2018-11-11
31
问题
设f(χ)为n+1阶可导函数,求证:f(χ)为n次多项式的充要条件是f
(n+1)
(χ)≡0,f
(n)
(χ)≠0.
选项
答案
由带拉格朗日余项的n阶泰勒公式得 f(χ)=f(0)+f′(0)χ+…+[*] 若f
(n+1)
≡0,f
(n)
(χ)≠0,由上式得 f(χ)=f(0)+f′(0)χ+…+[*]f
(n)
(0)χ
n
是n次多项式. 反之,若f(χ)=a
n
χ
n
+a
n-1
χ
n-1
+…+a
1
χ+a
0
(a
n
≠0)是n次多项式,显然 f
(n)
(χ)=a
n
n!≠0,f
(n+1)
(χ)≡0.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Fxj4777K
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考研数学二
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