证明对称阵A为正定的充分必要条件是：存在可逆矩阵U，使A=UTU，即A与单位阵E合同．

admin2016-03-05 140

问题证明对称阵A为正定的充分必要条件是：存在可逆矩阵U，使A=U^TU，即A与单位阵E合同．

选项

答案必要性：因为对称阵A为正定的，所以存在正交矩阵P使P^TAP=diag(λ₁，λ₂，…，λ_n)=A，即A=PAP^T，其中λ₁，λ₂，…，λ_n为A的全部特征值，A是正定矩阵，λ₁，λ₂，…，λ_n均为正数．令[*]A=A₁A₁，A=PA₁A₁^TP^T．再令U=A₁^TP^T，则U可逆，且A=U^TU故A与单位矩阵合同．充分性：若存在可逆矩阵U，使A=U^TU，则对任意的x∈Rⁿ且x≠0，有‖Ux‖²＞0，即f(x)=x^TAx=x^TU^TUx=‖Ux‖²＞0，矩阵A是正定矩阵．

解析

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考研数学二

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