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证明对称阵A为正定的充分必要条件是:存在可逆矩阵U,使A=UTU,即A与单位阵E合同.
证明对称阵A为正定的充分必要条件是:存在可逆矩阵U,使A=UTU,即A与单位阵E合同.
admin
2016-03-05
116
问题
证明对称阵A为正定的充分必要条件是:存在可逆矩阵U,使A=U
T
U,即A与单位阵E合同.
选项
答案
必要性:因为对称阵A为正定的,所以存在正交矩阵P使P
T
AP=diag(λ
1
,λ
2
,…,λ
n
)=A,即A=PAP
T
,其中λ
1
,λ
2
,…,λ
n
为A的全部特征值,A是正定矩阵,λ
1
,λ
2
,…,λ
n
均为正数. 令[*]A=A
1
A
1
,A=PA
1
A
1
T
P
T
. 再令U=A
1
T
P
T
,则U可逆,且A=U
T
U故A与单位矩阵合同.充分性:若存在可逆矩阵U,使A=U
T
U,则对任意的x∈R
n
且x≠0,有‖Ux‖
2
>0,即f(x)=x
T
Ax=x
T
U
T
Ux=‖Ux‖
2
>0,矩阵A是正定矩阵.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Ra34777K
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考研数学二
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