设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，其导数图形如图所示，则在(-∞，+∞)内

admin2016-01-23 38

问题设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，其导数图形如图所示，则在(-∞，+∞)内

选项 A、函数f(x)有三个极值点，曲线y=f(x)有两个拐点
B、函数f(x)有四个极值点，曲线y=f(x)有一个拐点
C、函数f(x)有三个极值点，曲线y=f(x)有一个拐点
D、函数f(x)有四个极值点，曲线y=f(x)有两个拐点

答案B

解析本题考查函数的极值、拐点问题——见到求函数的单调区间、极值，函数曲线的凹凸区间、拐点问题，就想“四步八个字”——定域、找点、分段、判断，其关键是要先找出驻点和f’(x)不存在的点及f’’(x)的零点和f’’(x)不存在的点．
解：由题设所给y=f’(x)的图形可看出，f’(x₁)=
f’(x₂)=f’(x₃)=0，f(x)在x=0处不可导，即f(x)可能有4个极值点，且曲线y=f’(x)在x轴上方时f’(x)＞0，在x轴下方时f’(x)＜0，可见这四个点都是极值点(x₁，x₂为极大值点，原点与x₃为极小值点，为什么?)

仍由y=f’(x)的图形可看出，f’’(x₄)=0(因x₄是f’(x)的驻点)，f(x)在x=0处的二阶导数不存在，即曲线y=f(x)可能有两个拐点．因为除了x=0外，y=f’(x)处处光滑，存在不垂直于x轴的切线，故可推测f(x)除x=0外具有二阶导数，因此在f’(x)的严格单调增加区间内有f’’(x)＞0；在f’(x)严格单调减少区间内有f’’(x)＜0，可见(0，f(0))不是曲线y=f(x)的拐点，(x₄，f(x₄))是曲线y=f(x)的拐点(为什么?请读者结合y=f’(x)的图形思考，并找出曲线y=f(x)的凹凸区间)．

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考研数学一

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