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设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续,其导数图形如图所示,则在(-∞,+∞)内
设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续,其导数图形如图所示,则在(-∞,+∞)内
admin
2016-01-23
37
问题
设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续,其导数图形如图所示,则在(-∞,+∞)内
选项
A、函数f(x)有三个极值点,曲线y=f(x)有两个拐点
B、函数f(x)有四个极值点,曲线y=f(x)有一个拐点
C、函数f(x)有三个极值点,曲线y=f(x)有一个拐点
D、函数f(x)有四个极值点,曲线y=f(x)有两个拐点
答案
B
解析
本题考查函数的极值、拐点问题——见到求函数的单调区间、极值,函数曲线的凹凸区间、拐点问题,就想“四步八个字”——定域、找点、分段、判断,其关键是要先找出驻点和f’(x)不存在的点及f’’(x)的零点和f’’(x)不存在的点.
解:由题设所给y=f’(x)的图形可看出,f’(x
1
)=
f’(x
2
)=f’(x
3
)=0,f(x)在x=0处不可导,即f(x)可能有4个极值点,且曲线y=f’(x)在x轴上方时f’(x)>0,在x轴下方时f’(x)<0,可见这四个点都是极值点(x
1
,x
2
为极大值点,原点与x
3
为极小值点,为什么?)
仍由y=f’(x)的图形可看出,f’’(x
4
)=0(因x
4
是f’(x)的驻点),f(x)在x=0处的二阶导数不存在,即曲线y=f(x)可能有两个拐点.因为除了x=0外,y=f’(x)处处光滑,存在不垂直于x轴的切线,故可推测f(x)除x=0外具有二阶导数,因此在f’(x)的严格单调增加区间内有f’’(x)>0;在f’(x)严格单调减少区间内有f’’(x)<0,可见(0,f(0))不是曲线y=f(x)的拐点,(x
4
,f(x
4
))是曲线y=f(x)的拐点(为什么?请读者结合y=f’(x)的图形思考,并找出曲线y=f(x)的凹凸区间).
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考研数学一
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