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  3. 设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，其导数图形如图所示，则在(-∞，+∞)内

设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，其导数图形如图所示，则在(-∞，+∞)内

admin2016-01-23  24
问题 设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，其导数图形如图所示，则在(-∞，+∞)内
选项 A、函数f(x)有三个极值点，曲线y=f(x)有两个拐点
B、函数f(x)有四个极值点，曲线y=f(x)有一个拐点
C、函数f(x)有三个极值点，曲线y=f(x)有一个拐点
D、函数f(x)有四个极值点，曲线y=f(x)有两个拐点
答案B
解析 本题考查函数的极值、拐点问题——见到求函数的单调区间、极值，函数曲线的凹凸区间、拐点问题，就想“四步八个字”——定域、找点、分段、判断，其关键是要先找出驻点和f’(x)不存在的点及f’’(x)的零点和f’’(x)不存在的点．
    解：由题设所给y=f’(x)的图形可看出，f’(x1)=
f’(x2)=f’(x3)=0，f(x)在x=0处不可导，即f(x)可能有4个极值点，且曲线y=f’(x)在x轴上方时f’(x)＞0，在x轴下方时f’(x)＜0，可见这四个点都是极值点(x1，x2为极大值点，原点与x3为极小值点，为什么?)

    仍由y=f’(x)的图形可看出，f’’(x4)=0(因x4是f’(x)的驻点)，f(x)在x=0处的二阶导数不存在，即曲线y=f(x)可能有两个拐点．因为除了x=0外，y=f’(x)处处光滑，存在不垂直于x轴的切线，故可推测f(x)除x=0外具有二阶导数，因此在f’(x)的严格单调增加区间内有f’’(x)＞0；在f’(x)严格单调减少区间内有f’’(x)＜0，可见(0，f(0))不是曲线y=f(x)的拐点，(x4，f(x4))是曲线y=f(x)的拐点(为什么?请读者结合y=f’(x)的图形思考，并找出曲线y=f(x)的凹凸区间)．
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考研数学一

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