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  3. 设矩阵A=(aij)n×m的秩为n，记A的元素aij的代数余子式为Aij，并记A的前r行组成的r×n矩阵为B，证明：向量组 α1=(Ar+1,1，…，Ar+1,n)T α2=(Ar+2,1，…，Ar+2,n)T … αn—

设矩阵A=(aij)n×m的秩为n，记A的元素aij的代数余子式为Aij，并记A的前r行组成的r×n矩阵为B，证明：向量组 α1=(Ar+1,1，…，Ar+1,n)T α2=(Ar+2,1，…，Ar+2,n)T … αn—

admin2018-11-22  67
问题 设矩阵A=(aij)n×m的秩为n，记A的元素aij的代数余子式为Aij，并记A的前r行组成的r×n矩阵为B，证明：向量组
    α1=(Ar+1,1，…，Ar+1,n)T
    α2=(Ar+2,1，…，Ar+2,n)T
     …
    αn—r=(An1，…，Ann)T
是齐次线性方程组Bx=0的基础解系．
选项
答案由于A的行向量组线性无关，故B的行向量组线性无关，→r(B)=r，→方程组Bx=0的基础解系含n一r个向量，所以，要证明α1，α2，…，αn—r是方程组Bx=0的基础解系，只要证明α1，α2，…，αn—r是Bx=0的线性无关解向量即可．首先，由于[*]aijAij=0(i=1，2，…，r；k=r+1，…，n)，故α1，α2，…，αn—r都是方程组Bx=0的解向量；其次，由于｜A*｜=｜A｜n—1≠0，知A*的列向量组线性无关，而α1，…，αn—k是A*的后n一r列，故α1，…，αn—k线性无关，因此α1，…，αn—k是Bx=0的线性无关解向量．
解析
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考研数学一

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