设矩阵A=(aij)n×m的秩为n,记A的元素aij的代数余子式为Aij,并记A的前r行组成的r×n矩阵为B,证明:向量组 α1=(Ar+1,1,…,Ar+1,n)T α2=(Ar+2,1,…,Ar+2,n)T … αn—

admin2018-11-22  43

问题 设矩阵A=(aij)n×m的秩为n,记A的元素aij的代数余子式为Aij,并记A的前r行组成的r×n矩阵为B,证明:向量组
    α1=(Ar+1,1,…,Ar+1,n)T
    α2=(Ar+2,1,…,Ar+2,n)T
     …
    αn—r=(An1,…,Ann)T
是齐次线性方程组Bx=0的基础解系.

选项

答案由于A的行向量组线性无关,故B的行向量组线性无关,→r(B)=r,→方程组Bx=0的基础解系含n一r个向量,所以,要证明α1,α2,…,αn—r是方程组Bx=0的基础解系,只要证明α1,α2,…,αn—r是Bx=0的线性无关解向量即可.首先,由于[*]aijAij=0(i=1,2,…,r;k=r+1,…,n),故α1,α2,…,αn—r都是方程组Bx=0的解向量;其次,由于|A*|=|A|n—1≠0,知A*的列向量组线性无关,而α1,…,αn—k是A*的后n一r列,故α1,…,αn—k线性无关,因此α1,…,αn—k是Bx=0的线性无关解向量.

解析
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