设f(x)在(a,b)内可导,下述结论正确的是( )

admin2016-04-14  32

问题 设f(x)在(a,b)内可导,下述结论正确的是(     )

选项 A、设f(x)在(a,b)内只有1个零点,则f’(x)在(a,b)内没有零点.
B、设f’(x)在(a,b)内至少有一个零点,则f(x)在(a,b)内至少有2个零点.
C、设f’(x)在(a,b)内没有零点,则f(x)在(a,b)内至多有1个零点.
D、设f(x)在(a,b)内没有零点,则f’(x)在(a,b)内至多有1个零点.

答案C

解析 由罗尔中值定理,用反证法即可得.其他均可举出反例.例如,f(x)=x3-x+6=(x+2)(x2一2x+3)只有唯一零点x=-2,但f’(x)=3x2-1有两个零点,所以(A)不成立.此例也说明(B)不成立.又例如f(x)=2+sinx,在(一∞,+∞)内没有零点,但f’(x)=cosx在(一∞,+∞)内有无穷多个零点,所以(D)不成立.
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