已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：ax+2by+3c=0， l2：bx+2cy+3a=0， l3：cx+2ay+3b=0．试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0

admin2020-03-16 56

问题已知平面上三条不同直线的方程分别为
l₁：ax+2by+3c=0，
l₂：bx+2cy+3a=0，
l₃：cx+2ay+3b=0．
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0

选项

答案必要性：设三直线l₁，l₂，l₃交于一点，则线性方程组 [*] 充分性：由a+b+c=0，则｜B｜=0，故秩r(B)＜3．由于[*] 故秩r(A)=2．于是，秩r(A)=秩r(B)=2．因此方程组(1)的唯一解，即三直线l₁，l₂，l₃交于一点．

解析本题考查点是解析几何与线性代数相应内容的关系问题，即平面上三条不同直线交于一点与对应的线性方程组系数矩阵的秩的关系．

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考研数学二

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