设f(x)为[—a，a]上的连续偶函数，且f(x)＞0，令F(x)=∫—aa｜x—t｜f(t)dt。当F(x)的最小值为f(a)—a2—1时，求函数f(x)。

admin2018-12-29 6

问题设f(x)为[—a，a]上的连续偶函数，且f(x)＞0，令F(x)=∫_—a^a｜x—t｜f(t)dt。
当F(x)的最小值为f(a)—a²—1时，求函数f(x)。

选项

答案由2∫₀^atf(t)dt=f(a)—a²—1，两边求导得2af(a)=f′(a)—2a，于是 f′(x)一2xf(x)=2x，解得 f(x)=(∫2xe^—∫2xdxdx+C)e^{—∫—2xdx}=Ce^x²—1，在2∫₀^atf(t)dt=f(a)—a²—1中令a=0，得f(0)=1，则C=2，于是f(x)=2e^x²—1。

解析

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考研数学一

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