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  3. 设二次型f(x1，x2，x3)﹦(x1﹢x2－2x3)2﹢[－3x1﹢(a－1)x2﹢7x3]2﹢(x1﹢ax3)2正定，则参数a的取值范围是( )

设二次型f(x1，x2，x3)﹦(x1﹢x2－2x3)2﹢[－3x1﹢(a－1)x2﹢7x3]2﹢(x1﹢ax3)2正定，则参数a的取值范围是( )

admin2019-01-22  32
问题 设二次型f(x1，x2，x3)﹦(x1﹢x2－2x3)2﹢[－3x1﹢(a－1)x2﹢7x3]2﹢(x1﹢ax3)2正定，则参数a的取值范围是(    )
选项 A、a﹦－2
B、a﹦－3
C、a＞0
D、a为任意值
答案D
解析 方法一：f(x1，x2，x3)是平方和的形式，所以f(x1，x2，x3)≥0。

上述方程组的系数行列式为
﹦(a﹢2)2﹢1＞0，所以a取任意值，上述方程组都有唯一零解，即对任意的x≠0，都有f(x1，x2，x3)＞0，f正定。故本题选D。
    方法二：   
f(x1，x2，x3)﹦[x1﹢x2－2x3，－3x1﹢(a－1)x2﹢7x3，x1﹢ax3]
﹦(x1，x2，x3)﹦xTBTBx﹦xTAx，
其中A﹦BTB且AT﹦A。
｜B｜﹦(a﹢2)2﹢1＞0，
其中a为任意值，所以对任意的a，矩阵B均可逆，则A﹦BTTB正定，f(x1，x2，x3)是正定二次型。故本题选D。
本题考查正定二次型的判定。若要判断二次型正定，则应给出证明，常用的方法为二次型正定的定义或充分必要条件。二次型正定的定义：设有二次型f(x)﹦xTAx，如果对于任何x≠O，都有f(x)＞0，则称f为正定二次型。二次型f(x)﹦xTAx正定的充分必要条件：①A的正惯性指数为n，其中n为向量x的维数；②A的特征值均大于0；③A与单位矩阵E合同；④存在可逆矩阵P，使得A﹦PTP；⑤的所有顺序主子式全大于0。
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考研数学一

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