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设二次型f(x1，x2，x3)﹦(x1﹢x2－2x3)2﹢[－3x1﹢(a－1)x2﹢7x3]2﹢(x1﹢ax3)2正定，则参数a的取值范围是( )
设二次型f(x1，x2，x3)﹦(x1﹢x2－2x3)2﹢[－3x1﹢(a－1)x2﹢7x3]2﹢(x1﹢ax3)2正定，则参数a的取值范围是( )
admin
2019-01-22
19
问题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)﹦(x
1
﹢x
2
－2x
3
)
2
﹢[－3x
1
﹢(a－1)x
2
﹢7x
3
]
2
﹢(x
1
﹢ax
3
)
2
正定，则参数a的取值范围是( )
选项
A、a﹦－2
B、a﹦－3
C、a＞0
D、a为任意值
答案
D
解析
方法一：f(x
1
，x
2
，x
3
)是平方和的形式，所以f(x
1
，x
2
，x
3
)≥0。
上述方程组的系数行列式为
﹦(a﹢2)
2
﹢1＞0，所以a取任意值，上述方程组都有唯一零解，即对任意的x≠0，都有f(x
1
，x
2
，x
3
)＞0，f正定。故本题选D。
方法二：
f(x
1
，x
2
，x
3
)﹦[x
1
﹢x
2
－2x
3
，－3x
1
﹢(a－1)x
2
﹢7x
3
，x
1
﹢ax
3
]
﹦(x
1
，x
2
，x
3
)
﹦x
T
B
T
Bx﹦x
T
Ax，
其中A﹦B
T
B且A
T
﹦A。
｜B｜
﹦(a﹢2)
2
﹢1＞0，
其中a为任意值，所以对任意的a，矩阵B均可逆，则A﹦B
T
TB正定，f(x
1
，x
2
，x
3
)是正定二次型。故本题选D。
本题考查正定二次型的判定。若要判断二次型正定，则应给出证明，常用的方法为二次型正定的定义或充分必要条件。二次型正定的定义：设有二次型f(x)﹦x
T
Ax，如果对于任何x≠O，都有f(x)＞0，则称f为正定二次型。二次型f(x)﹦x
T
Ax正定的充分必要条件：①A的正惯性指数为n，其中n为向量x的维数；②A的特征值均大于0；③A与单位矩阵E合同；④存在可逆矩阵P，使得A﹦P
T
P；⑤的所有顺序主子式全大于0。
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考研数学一
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