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  3. 已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1－a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2。 (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形； (Ⅲ)求方程f(x1，x2，x3)=0

已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1－a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2。 (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形； (Ⅲ)求方程f(x1，x2，x3)=0

admin2021-01-15  4
问题 已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1－a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2。
    (Ⅰ)求a的值；
    (Ⅱ)求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形；
    (Ⅲ)求方程f(x1，x2，x3)=0的解。
选项
答案(Ⅰ)二次型对应矩阵为 [*] 由二次型的秩为2，知 [*] 得a=0。 (Ⅱ)二次型矩阵 [*] 其特征值为λ1=λ2=2，λ3=0。 解(2E－A)x=0，得特征向量α1=(1，1，0)T，α2=(0，0，1)T。 解(0E－A)x=0，得特征向量α3=1，一1，0)T。 由于α1，α2，α3已经两两正交，直接将α1，α2，α3单位化，得 [*] 令Q=(η1 ，η2 ，η3)，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy，可化原二次型为标准形f(x1，x2，x3) =2y12+2y22。 (Ⅲ)由f(x1，x2，x3)=2y12+2y22=0，得y1=y2=0，Y3k(k为任意常数)。 从而所求解为：x=Qy=(η1 ，η2 ，η3) [*] 其中c为任意常数。
解析
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考研数学一

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