求一个正交变换把二次曲面的方程3x2+5y2+5z2+4xy一4xz一10yz=1化成标准方程．

admin2020-11-13 93

问题求一个正交变换把二次曲面的方程3x²+5y²+5z²+4xy一4xz一10yz=1化成标准方程．

选项

答案方程左面是二次型，其对应矩阵为A=[*] ｜λE-A｜=[*] 解得特征值为λ₁=2，λ₂=11，λ₃=0． ①当λ₁=2时，解方程(2E—A)x=0，得基础解系为α₁=(4，一1，1)^T． ②当λ₂=11时，解方程(11E—A)x=0，得基础解系为α₂=(1，2，一2)^T． ③当λ₃=0时，解方程一Ax=0，得基础解系为α₃=(0，1，1)^T．最后将α₁，α₂，α₃单位化得β₁=[*] 因此所求的正交变换为[*] 因此二次曲面的标准方程为2u²+11v²=1，是椭圆柱面．

解析

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考研数学三

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