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设n维实向量α=(a1,a2,…,an)T≠0,方阵A=ααT. 求可逆矩阵P,使P-1AP成对角矩阵.
设n维实向量α=(a1,a2,…,an)T≠0,方阵A=ααT. 求可逆矩阵P,使P-1AP成对角矩阵.
admin
2018-07-27
48
问题
设n维实向量α=(a
1
,a
2
,…,a
n
)
T
≠0,方阵A=αα
T
.
求可逆矩阵P,使P
-1
AP成对角矩阵.
选项
答案
A≠O,[*]1≤r(A)=r(αα
T
)≤r(α)=1,[*]r(A)=1,因为实对称矩阵A的非零特征值的个数就等于A的秩,故A只有一个非零特征值,而有n-1重特征值λ
1
=λ
2
=…=λ
n-1
=0,计算可得属于特征值0的线性无关特征向量可取为(设a
1
≠0):ξ
1
=(-a
2
/a
1
,1,0,…,0)
T
,ξ
2
=(-a
3
/a
1
,0,1,…,0)
T
,…,ξ
n-1
=(-a
n
/a
1
,0,0,…,1)
T
.由于A的全部特征值之和等于A的主对角线元素之和[*]a
i
2
,故得A的唯一的非零特征值为λ
n
=[*]a
i
2
=α
T
α,且由Aα=(αα
T
)α=α(α
T
α)=αλ
n
=λ
n
α可得α为对应于λ
n
的一个特征向量.令矩阵P=[ξ
1
…ξ
n-1
α],则有P
-1
AP=diag(0,0,…,0,[*]a
i
2
)为对角矩阵.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/IWW4777K
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考研数学三
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