设n维实向量α=(a1,a2,…,an)T≠0,方阵A=ααT. 求可逆矩阵P,使P-1AP成对角矩阵.

admin2018-07-27  35

问题 设n维实向量α=(a1,a2,…,an)T≠0,方阵A=ααT
求可逆矩阵P,使P-1AP成对角矩阵.

选项

答案A≠O,[*]1≤r(A)=r(ααT)≤r(α)=1,[*]r(A)=1,因为实对称矩阵A的非零特征值的个数就等于A的秩,故A只有一个非零特征值,而有n-1重特征值λ12=…=λn-1=0,计算可得属于特征值0的线性无关特征向量可取为(设a1≠0):ξ1=(-a2/a1,1,0,…,0)T,ξ2=(-a3/a1,0,1,…,0)T,…,ξn-1=(-an/a1,0,0,…,1)T.由于A的全部特征值之和等于A的主对角线元素之和[*]ai2,故得A的唯一的非零特征值为λn=[*]ai2Tα,且由Aα=(ααT)α=α(αTα)=αλnnα可得α为对应于λn的一个特征向量.令矩阵P=[ξ1…ξn-1 α],则有P-1AP=diag(0,0,…,0,[*]ai2)为对角矩阵.

解析
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