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  3. 设n维实向量α=(a1，a2，…，an)T≠0，方阵A=ααT． 求可逆矩阵P，使P－1AP成对角矩阵．

设n维实向量α=(a1，a2，…，an)T≠0，方阵A=ααT． 求可逆矩阵P，使P－1AP成对角矩阵．

admin2018-07-27  49
问题 设n维实向量α=(a1，a2，…，an)T≠0，方阵A=ααT．
求可逆矩阵P，使P－1AP成对角矩阵．
选项
答案A≠O，[*]1≤r(A)=r(ααT)≤r(α)=1，[*]r(A)=1，因为实对称矩阵A的非零特征值的个数就等于A的秩，故A只有一个非零特征值，而有n－1重特征值λ1=λ2=…=λn－1=0，计算可得属于特征值0的线性无关特征向量可取为(设a1≠0)：ξ1=(－a2／a1，1，0，…，0)T，ξ2=(－a3／a1，0，1，…，0)T，…，ξn－1=(－an／a1，0，0，…，1)T．由于A的全部特征值之和等于A的主对角线元素之和[*]ai2，故得A的唯一的非零特征值为λn=[*]ai2=αTα，且由Aα=(ααT)α=α(αTα)=αλn=λnα可得α为对应于λn的一个特征向量．令矩阵P=[ξ1…ξn－1 α]，则有P－1AP=diag(0，0，…，0，[*]ai2)为对角矩阵．
解析
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考研数学三

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