证明n阶矩阵相似．

admin2016-01-11 49

问题证明n阶矩阵

相似．

选项

答案设矩阵[*]显然矩阵A的每行元素之和为n，所以n是A的一个特征值，又A的秩r(A)=1，所以A有n一1个0特征值．而A又是实对称矩阵，所以A可相似的对角矩阵A．即[*]又由[*]得B的n个特征值为λ₁=n，λ₂=λ₃=…=λ_n=0，而当λ₂=λ₃=…=λ_n=0时，有[*]显然，r(0E—B)=1，故B的n—1重特征值0有n—1个线性无关的特征向量，所以，B也可相似对角化，且[*]再根据相似矩阵具有传递性，知A一B．

解析本题考查矩阵相似对角化的有关理论．综合运用实对称矩阵必可相似对角矩阵；n阶矩阵每行元素之和为n，则n为该矩阵的一个特征值；n阶矩阵的秩为1，则该矩阵必有n—1个特征值为0；A一A

对于A的k重特征值必有r(A)=n—k．相似矩阵具有传递性：若A一B，B一C，则A—C

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考研数学二

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