设半径为R的球的球心位于以原点为中心、a为半径的定球面上(2a＞R＞0，a为常数)．试确定R为何值时前者夹在定球面内部的表面积为最大，并求出此最大值．

admin2018-09-25 73

问题设半径为R的球的球心位于以原点为中心、a为半径的定球面上(2a＞R＞0，a为常数)．试确定R为何值时前者夹在定球面内部的表面积为最大，并求出此最大值．

选项

答案以定球球心为原点，两球心之连线为z轴建立坐标系，则两球面方程为定球：z²+y²+z²=a²；动球：x²+y²+(z－a)²=R²．两球交线为 [*] 该交线在xOy平面上的投影圆x²+y²=[*](4a²－R²)．设动球夹在定球内部的表面积为S．对于动球，有 x²+y²+(z－a)²=R²， [*] 故当[*]时，动球夹在定球内部的表面积S最大，最大值为 [*]

解析

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