设A是n阶反对称矩阵．证明：对任何非零常数c，矩阵A+cE恒可逆．

admin2017-06-14 59

问题设A是n阶反对称矩阵．
证明：对任何非零常数c，矩阵A+cE恒可逆．

选项

答案(反证法)．如果矩阵A+cE不可逆，则齐次方程组(A+cE)x=0有非零解，设其为 η，于是有 Aη=－cη，η≠0．左乘η^T，得 η^TAη=－cη^Tη≠0．与上一题矛盾．故矩阵A+cE恒可逆．

解析

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考研数学一

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设向量α1，α2，...,αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．
设A，B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有
设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3．令P=(α1，α2，α3)，求p-1AP.
设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3．证明α1，α2，α3线性无关；
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(1998年试题，八)设正项数列{an}单调减少，且发散，试问级数是否收敛?并说明理由．
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