(1998年试题，八)设正项数列{an}单调减少，且发散，试问级数是否收敛?并说明理由．

admin2013-12-27 63

问题 (1998年试题，八)设正项数列{a_n}单调减少，且

发散，试问级数

是否收敛?并说明理由．

选项

答案由题设，正项数列{a_n}单减且有下界，由此知数列{a_n}收敛，并记[*]且有a≥0．而由已知[*]发散。结合莱布尼兹交错级数判别准则可知a≠0，否则[*]必收敛，因此a>0，既然a_n单调减少且极限为a>0，则有[*]而几何级数[*]的公比[*]必然收敛，因此由比较判别法知[*]收敛．解析二同分析一，先证得极限[*]存在，且a>0．又[*]所以由正项级数的根式判别法.因此由比较判别法知[*]收敛．

解析

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