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  3. 已知矩阵 的特征值有重根，判断A能否相似对角化，并说明理由．

已知矩阵 的特征值有重根，判断A能否相似对角化，并说明理由．

admin2019-05-14  29
问题 已知矩阵

的特征值有重根，判断A能否相似对角化，并说明理由．
选项
答案由A的特征多项式 [*] =(λ－2)(λ2－8λ+10+a) 若λ=2是重根，则λ2－8λ+10+a中含有λ－2的因式，于是22－16+10+a=0，得a=2． 此时λ2－8λ+12=(λ－2)(λ－6)．矩阵A的3个特征值是2(二重根)，6． 对于λ=2，由 [*] 知A可以相似对角化． 若λ=2不是重根，则λ2－8λ+10+a是完全平方，于是 82=4(10+a)， 得a=6， λ=4(二重根)， 对于λ=4，由于 [*] 故a=6时，A不能相似对角化．
解析
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考研数学一

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