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  3. 设f(x)在区间[a，b]上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫abf(x)dx=(b-a)

设f(x)在区间[a，b]上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫abf(x)dx=(b-a)

admin2015-06-30  72
问题 设f(x)在区间[a，b]上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫abf(x)dx=(b-a)
选项
答案令F(x)=∫xf(t)dt，则F(x)在[a，b]上三阶连续可导，取x0=[*]，由泰勒公式得 F(a)=F(x0)+F’(x0)(a-x0)+[*](a-x0)2+[*](a-x0)3，ξ1∈(a，x0)， F(b)=F(x0)+F’(x0)(b-x0)+[*](b-x0)2+[*](b-x0)3，ξ2∈(x0，b)， 两式相减得F(b)-F(a)=F’(x0)(b-a)+[*]F"’(ξ1)+F"’(ξ2)]，即 ∫abf(x)dx=(b-a)[*][f"(ξ1)+f"(ξ2)]， 因为f"(x)在[a，b]上连续，所以存在ξ∈[ξ1，ξ2][*](a，b)，使得 f"(ξ)=[*][f"(ξ1)+f"(ξ2)]，从而∫abf(x)dx=(b-a)[*]
解析
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考研数学二

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