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设f(x)在区间[a,b]上二阶连续可导,证明:存在ξ∈(a,b),使得∫abf(x)dx=(b-a)
设f(x)在区间[a,b]上二阶连续可导,证明:存在ξ∈(a,b),使得∫abf(x)dx=(b-a)
admin
2015-06-30
66
问题
设f(x)在区间[a,b]上二阶连续可导,证明:存在ξ∈(a,b),使得∫
a
b
f(x)dx=(b-a)
选项
答案
令F(x)=∫
x
f(t)dt,则F(x)在[a,b]上三阶连续可导,取x
0
=[*],由泰勒公式得 F(a)=F(x
0
)+F’(x
0
)(a-x
0
)+[*](a-x
0
)
2
+[*](a-x
0
)
3
,ξ
1
∈(a,x
0
), F(b)=F(x
0
)+F’(x
0
)(b-x
0
)+[*](b-x
0
)
2
+[*](b-x
0
)
3
,ξ
2
∈(x
0
,b), 两式相减得F(b)-F(a)=F’(x
0
)(b-a)+[*]F"’(ξ
1
)+F"’(ξ
2
)],即 ∫
a
b
f(x)dx=(b-a)[*][f"(ξ
1
)+f"(ξ
2
)], 因为f"(x)在[a,b]上连续,所以存在ξ∈[ξ
1
,ξ
2
][*](a,b),使得 f"(ξ)=[*][f"(ξ
1
)+f"(ξ
2
)],从而∫
a
b
f(x)dx=(b-a)[*]
解析
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考研数学二
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