设矩阵A=，则下列矩阵中与矩阵A等价、合同但不相似的是( )

admin2017-01-16 28

问题设矩阵A=

，则下列矩阵中与矩阵A等价、合同但不相似的是( )

选项 A、
B、
C、
D、

答案D

解析由
|λE-A|=

=λ(λ-3)(λ+3)
可知，矩阵A的特征值是3，-3，0，故r(A)=2，二次型x^TAx的正、负惯性指数均为1。
选项A中的矩阵的秩为1，不可能与矩阵A等价；选项B中矩阵的特征值为1，4，0，正惯性指数为2，负惯性指数为0，与矩阵A既不合同也不相似，但等价(因为秩相等)；选项C中矩阵的特征值为3，-3，0，与矩阵A不仅等价、合同，而且也是相似的，不符合题意；对于选项D，记其矩阵为D，则有
|λE-D|=

=λ(λ-1)(λ+1)，
可知D的特征值是1，-1，0，x^TAx与x^TDx的正、负惯性指数一样，所以它们合同但不相似(因为特征值不同)，故选D。

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考研数学一

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