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设矩阵A=,则下列矩阵中与矩阵A等价、合同但不相似的是( )
设矩阵A=,则下列矩阵中与矩阵A等价、合同但不相似的是( )
admin
2017-01-16
42
问题
设矩阵A=
,则下列矩阵中与矩阵A等价、合同但不相似的是( )
选项
A、
B、
C、
D、
答案
D
解析
由
|λE-A|=
=λ(λ-3)(λ+3)
可知,矩阵A的特征值是3,-3,0,故r(A)=2,二次型x
T
Ax的正、负惯性指数均为1。
选项A中的矩阵的秩为1,不可能与矩阵A等价;选项B中矩阵的特征值为1,4,0,正惯性指数为2,负惯性指数为0,与矩阵A既不合同也不相似,但等价(因为秩相等);选项C中矩阵的特征值为3,-3,0,与矩阵A不仅等价、合同,而且也是相似的,不符合题意;对于选项D,记其矩阵为D,则有
|λE-D|=
=λ(λ-1)(λ+1),
可知D的特征值是1,-1,0,x
T
Ax与x
T
Dx的正、负惯性指数一样,所以它们合同但不相似(因为特征值不同),故选D。
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考研数学一
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