设y=2cos2x+(x+2)ex为三阶常系数非齐次线性微分方程y"+py"+qy’+ry=f(x)的特解，则该微分方程为( )．

admin2021-01-14 41

问题设y=2cos2x+(x+2)e^x为三阶常系数非齐次线性微分方程y"+py"+qy’+ry=f(x)的特解，则该微分方程为( )．

选项 A、
B、
C、
D、

答案D

解析显然y"+pu"+qy’+ry=0的特征值为λ₁=一i，λ₂=i，λ₃=1，
特征方程为(λ—i)(λ+i)(λ一1)=0，即λ³一λ²+λ一1—0，即P=一1，q=1，r=一1，
因为xe^x为y"’+py"+qy’+ry=f(x)的一个特解，
所以f(x)=2e^x，所求的微分方程为y"’一y"+y’一y=2e^x，应选(D)．

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函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1且满足等式f’(x)+f(x)－∫0xf(t)dt=0。证明：当x≥0时，成立不等式e－x≤f(x)≤1成立。
设位于第一象限的曲线y=f(x)过点(，1／2)，其上任一点P(x，y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分。求曲线y=f(x)的方程；
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