设向量组(Ⅰ)α1，α2，…，αs和(Ⅱ)β1，β2，…，βt，如果(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表出，且秩r(Ⅰ)＝r(Ⅱ)，证明(Ⅰ)与(Ⅱ)等价．

admin2018-06-12 60

问题设向量组(Ⅰ)α₁，α₂，…，α_s和(Ⅱ)β₁，β₂，…，β_t，如果(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表出，且秩r(Ⅰ)＝r(Ⅱ)，证明(Ⅰ)与(Ⅱ)等价．

选项

答案设秩r(Ⅰ)＝r(Ⅱ)＝r，(Ⅰ)的极大线性无关组为：[*]．因为(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表出，那么 r(α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t)＝r(β₁，β₂，…，β_t)＝r．所以[*]是向量组α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t的一个檄大线性尢天组．从而β₁，β₂，…，β_t可由[*]线性表出，即β₁，β₂，…，β_t可由α₁，α₂，…，α_s线性表出．

解析

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