设向量组(Ⅰ)α1,α2,…,αs和(Ⅱ)β1,β2,…,βt,如果(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表出,且秩r(Ⅰ)=r(Ⅱ),证明(Ⅰ)与(Ⅱ)等价.

admin2018-06-12  35

问题 设向量组(Ⅰ)α1,α2,…,αs和(Ⅱ)β1,β2,…,βt,如果(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表出,且秩r(Ⅰ)=r(Ⅱ),证明(Ⅰ)与(Ⅱ)等价.

选项

答案设秩r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r,(Ⅰ)的极大线性无关组为:[*]. 因为(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表出,那么 r(α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt)=r(β1,β2,…,βt)=r. 所以[*]是向量组α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt的一个檄大线性尢天组. 从而β1,β2,…,βt可由[*]线性表出,即β1,β2,…,βt可由α1,α2,…,αs线性表出.

解析
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