设y1=6，y2=6+x，y=6+x+ex都是微分方程(x2-x)y’’-(x2-2)y’+(2x-2)y=ex的解．则该微分方程的通解为_________．

admin2019-05-14 27

问题设y₁=6，y₂=6+x，y=6+x+e^x都是微分方程(x²-x)y’’-(x²-2)y’+(2x-2)y=e^x的解．则该微分方程的通解为_________．

选项

答案y=C₁e^x+C₂x+6

解析本题主要考查二阶线性(变系数)齐次与非齐次微分方程解的性质与结构．
因为y₁=6，y₂=6+x，y₄=6+x+e^x都是二阶线性非齐次微分方程的解，所以y₂-y₁=x，y₃-y₂=e^x就是其所对应的二阶线性齐次微分方程的解．
因为

≠常数，所以x与e^x线性无关，从而
Y=C₁e^x+C₂x
是二阶线性齐次微分方程的通解．又因为y₁=6是二阶线性非齐次微分方程的一个特解，故所求通解为
y=C₁e^x+C₂x+6．

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考研数学一

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