求下列微分方程的通解：

admin2018-11-21 65

问题求下列微分方程的通解：

选项

答案(Ⅰ)这是一阶线性非齐次微分方程，两边同乘[*]，得 [*] (Ⅱ)注意到如果将x看作y的函数，则该方程可改写为[*]一yx=y³，这也是一个一阶线性非齐次方程，两边同乘μ=e^∫—ydy=[*]，积分得 x=[*]一y²—2，其中C为任意常数． (Ⅲ)显然这是一个齐次方程，利用齐次方程的解法可以得到其通解．这里若将x看作y的函数，原方程可改写为[*]．这还是一个伯努利方程．改写成x²[*]x³=3y²．而[*]+C=3ln｜y｜+C，即 x³=Cy³+3y³ln｜y｜，其中C为任意常数． (Ⅳ)这是伯努利方程，此方程可改写为2yy’=[*]．由于2yy’=(y²)’，则原方程化为(y²)’一[*]．以y²为未知函数这又是一个一阶线性非齐次方程，而[*]得 [*] 即得通解为 y²=C(x一1)一(x一1)ln｜x一1｜+1，其中C为任意常数．

解析

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考研数学一

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