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  3. 求下列微分方程的通解：

求下列微分方程的通解：

admin2018-11-21  29
问题 求下列微分方程的通解：
选项
答案(Ⅰ)这是一阶线性非齐次微分方程，两边同乘[*]，得 [*] (Ⅱ)注意到如果将x看作y的函数，则该方程可改写为[*]一yx=y3，这也是一个一阶线性非齐次方程，两边同乘μ=e∫—ydy=[*]，积分得 x=[*]一y2—2，其中C为任意常数． (Ⅲ)显然这是一个齐次方程，利用齐次方程的解法可以得到其通解．这里若将x看作y的函数，原方程可改写为[*]．这还是一个伯努利方程．改写成x2[*]x3=3y2．而[*]+C=3ln｜y｜+C， 即 x3=Cy3+3y3ln｜y｜，其中C为任意常数． (Ⅳ)这是伯努利方程，此方程可改写为2yy’=[*]． 由于2yy’=(y2)’，则原方程化为(y2)’一[*]． 以y2为未知函数这又是一个一阶线性非齐次方程，而[*]得 [*] 即得通解为 y2=C(x一1)一(x一1)ln｜x一1｜+1，其中C为任意常数．
解析
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考研数学一

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