设函数f(x)和f(x)在x∈[0,+∞)上连续,且|f(x)|≤b,a和b均为常数.试证:微分方程的一切解在x∈[0,+∞)上皆有界.

admin2019-05-14  38

问题 设函数f(x)和f(x)在x∈[0,+∞)上连续,且|f(x)|≤b,a和b均为常数.试证:微分方程的一切解在x∈[0,+∞)上皆有界.

选项

答案考查初值问题[*]y(0)=y0.对于固定的y0,由方程可得相应的特解.对于任意的y0,可得方程的一切解 [*] 由于[*]故由函数极限的保号性:存在M>0,使得x>M时,有 [*] 由洛必塔法则,知 [*] 故一切解|y(x)|在x∈[0,+∞)上皆有界.

解析 因函数p(x)和f(x)均未具体给出,则用一阶线性微分方程的通解公式(一般是用不定积分表示的)是无法讨论其性质的,故应当用变上限的定积分来表示其通解,以便讨论其性质.
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