已知实二次型f=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2正定，矩阵A=(aij)3×3，则( )

admin2019-01-23 59

问题已知实二次型f=(a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃)²+(a₂₁x₁+a₂₂x₂+a₂₃x₃)²+(a₃₁x₁+a₃₂x₂+a₃₃x₃)²正定，矩阵A=(a_ij)_3×3，则( )

选项 A、A是正定矩阵。
B、A是可逆矩阵。
C、A是不可逆矩阵。
D、以上结论都不对。

答案B

解析 f=(a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃)²+(a₂₁x₁+a₂₃x₂+a₂₃x₃)²+(a₃₁x₁+a₃₂x₂+a₃₃x₃)²
=x^TA^TAx=(Ax)^T(Ax)。
因为实二次型f正定，所以对任意x≠0,f>0的充要条件是Ax≠0，即齐次线性方程组Ax=0只有零解，A是可逆矩阵，故选B。

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