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  3. 设A为n阶矩阵，A11≠0．证明：非齐次线性方程组AX＝b有无穷多个解的充分必要条件是A*b＝0．

设A为n阶矩阵，A11≠0．证明：非齐次线性方程组AX＝b有无穷多个解的充分必要条件是A*b＝0．

admin2015-07-22  110
问题 设A为n阶矩阵，A11≠0．证明：非齐次线性方程组AX＝b有无穷多个解的充分必要条件是A*b＝0．
选项
答案设非齐次线性方程组AX＝b有无穷多个解，则r(A)＜n，从而｜A｜＝0， 于是A*b＝A*AX＝｜A｜X＝0． 反之，设A*b＝0，因为b≠0，所以方程组A*X＝0有非零解，从而r(A*)＜n，又A11≠0，所以r(A*)＝1，且r(A)＝n一1． 因为r(A*)＝1，所以方程组A*X＝0的基础解系含有n一1个线性无关的解向量，而A*A＝0，所以A的列向量组α1，α2，…，αn为方程组A*X＝0的一组解向量． 由A11≠0，得α2，…，αn线性无关，所以α2，…，αn是方程组A*X—O的基础解系． 因为A*b＝0，所以b可由α2，…，αn线性表示，也可由α1，α2，…，αn线性表示，故r(A)＝r(A)＝n一1＜n，即方程组AX＝b有无穷多个解．
解析
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考研数学一

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