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设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0且f’+(a)f’-1(b)>0, 证明:存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)+2f(ξ)=3f’(ξ).
设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0且f’+(a)f’-1(b)>0, 证明:存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)+2f(ξ)=3f’(ξ).
admin
2021-03-10
45
问题
设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,f(a)=f(b)=0且f’
+
(a)f’
-1
(b)>0,
证明:存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)+2f(ξ)=3f’(ξ).
选项
答案
不妨设f’
+
(a)>0,f’
-
(b)>0, 因为f’
+
(a)>0,所以存在x
1
∈(a,b),使得f(x
1
)>f(a)=0; 因为f’
-
(b)>0,所以存在x
2
∈(a,b),使得f(x
2
)<f(b)=0, 因为f(x
1
)f(x
2
)<0,所以存在c∈(x
1
,x
2
)[*](a,b),使得f(c)=0, 令h(x)=e
-x
f(x),显然h(a)=h(c)=h(b)=0, 由罗尔定理,存在ξ
1
∈(a,c),ξ
2
∈(c,b),使得h’(ξ
1
)=h’(ξ
2
)=0, 而h’(x)=e
-x
[f’(x)-f(x)]且e
-x
≠0,故f’(ξ
1
)-f(ξ
1
)=0,f’(ξ
2
)-f(ξ
2
)=0; 令[*](x)=e
-2x
[f’(x)-f(x)],显然[*](ξ
1
)=[*](ξ
2
)=0, 由罗尔定理,存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](a,b),使得[*](ξ)=0, 而[*](x)=e
-2x
[f"(x)-3f’(x)+2f(x)]且e
-2x
≠0, 故f"(ξ)-3f’(ξ)+2f(ξ)=0,即f"(ξ)+2f(ξ)=3f’(ξ).
解析
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考研数学二
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