设f(t)在[0,π]上连续,在(0,π)内可导,且∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)sinxdx=0.证明:存在ξ∈(0,π),使得f’(ξ)=0.

admin2016-09-30  27

问题 设f(t)在[0,π]上连续,在(0,π)内可导,且∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)sinxdx=0.证明:存在ξ∈(0,π),使得f’(ξ)=0.

选项

答案令F(x)=∫0xf(t)sintdt,因为F(0)=F(π)=0,所以存在x1∈(0,π),使得F’(x1)=0,即f(x1)sinx1=0,又因为sinx1≠0,所以f(x1)=0. 设x1是f(x)在(0,π)内唯一的零点,则当x∈(0,π)且x≠x1时,有sin(x—x1)f(x) 恒正或恒负,于是∫0πsin(x—x1)f(x)dx≠0. 而∫0πsin(x—x1)f(x)dx=cosx∫0πf(x)sinxdx—sinxl ∫0πf(x)cosxdx=0,矛盾,所以f(x)在 (0,π)内至少有两个零点.不妨设f(x1)=f(x2)=0,x1,x2∈(0,7c)且x1<x2,由罗尔中值定理,存在ξ∈(x1,x2)[*](0,π),使得f’(ξ)=0.

解析
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