设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=O．已知A的秩r(A)=2．当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

admin2016-01-11 92

问题设A为3阶实对称矩阵，且满足条件A²+2A=O．已知A的秩r(A)=2．
当k为何值时，矩阵A+kE为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

选项

答案矩阵A+kE仍为实对称矩阵．由(1)知，A+kE的全部特征值为一2+k，一2+k，k，于是，当k＞2时矩阵A+kE的特征值均大于零．因此，当k＞2时，矩阵A+kE为正定矩阵．若A+kE为正定矩阵，只需其顺序主子式大于0，即k需满足k一2＞0，(k一2)²＞0，(k一2)²k＞0，因此，当k＞2时，矩阵A+kE为正定矩阵．

解析

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