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已知当|χ|<1.时函数f(χ)满足f〞(χ)+a[f′(χ)]2=g(χ),且f′(0)=0,其中常数a>0,函数g(χ)在|χ|<1可导且g(0)=0,g′(0)>0.试问f(0)是不是函数的极值,点(0,f(0))是不是曲线y=f(χ)的拐点?
已知当|χ|<1.时函数f(χ)满足f〞(χ)+a[f′(χ)]2=g(χ),且f′(0)=0,其中常数a>0,函数g(χ)在|χ|<1可导且g(0)=0,g′(0)>0.试问f(0)是不是函数的极值,点(0,f(0))是不是曲线y=f(χ)的拐点?
admin
2018-06-12
63
问题
已知当|χ|<1.时函数f(χ)满足f〞(χ)+a[f′(χ)]
2
=g(χ),且f′(0)=0,其中常数a>0,函数g(χ)在|χ|<1可导且g(0)=0,g′(0)>0.试问f(0)是不是函数的极值,点(0,f(0))是不是曲线y=f(χ)的拐点?
选项
答案
由题设知f〞(χ)=g(χ)-a[f′(χ)]
2
当|χ|<1时成立,且f
(3)
(χ)在|χ|<1存在,在上式中令χ=0得f〞(0)=0,将上式求导得 f
(3)
=g′(χ)=2af′(χ)f〞(χ) 令χ=0得f
(3)
(0)=g′(0)>0,从而点(0,f(0))是曲线y=f(χ)的拐点. 又因f
(3)
(0)=[*]>0, 在0<|χ|<δ时[*]>0,即在(-δ,0)中f〞(χ)<0,在(0,δ)中f〞(χ)>0.利用f′(0)=0即知f′(χ)在(-δ,0)与(0,δ)中都取正值,故f(0)不是函数f(χ)的极值.
解析
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考研数学一
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